К теории операторно монотонных и операторно выпуклых функций

Доказано, что для того чтобы вещественная функция была операторно монотонна или операторно выпукла достаточно, чтобы для какого-либо одного нормального состояния на алгебре всех ограниченных операторов в бесконечномерном гильбертовом пространстве выполнялись соответствующие неравенства монотонности или выпуклости. Описан класс выпуклых операторных функций относительно заданной алгебры фон Неймана в зависимости от наличия у нее прямых слагаемых того или иного типа. Показано, что если функция из $\mathbb R^+$ в $\mathbb R^+$ монотонна относительно алгебры фон Неймана, то она является операторно монотонной и в смысле естественного порядка на множестве всех положительных самосопряженных операторов, присоединенных к рассматриваемой алгебре.