Оценка алгебраического многочлена в плоскости через значение его вещественной части на единичной окружности

На классе $\mathcal P_n^*$ алгебраических многочленов комплексного переменного с комплекными коэффициентами степени не выше $n$ с вещественным свободным членом изучается оценка равномерной нормы многочлена $P_n\in\mathcal P_n^*$ на окружности $\Gamma_r=\{z\in\mathbb C\colon|z|=r\}$ радиуса $r>1$ через норму его вещественной части на единичной окружности $\Gamma_1$. А именно, исследуется наилучшая константа $\mu(r,n)$ в неравенстве $\|P_n\|_{C(\Gamma_r)}\leq\mu(r,n)\|\operatorname{Re}P_n\|_{C(\Gamma_1)}$. Доказано, что $\mu(r,n)=r^n$ при $r^{n+2}-r^n-3r^2-4r+1\geq0$; для обоснования этого результата выписана соответствующая квадратурная формула. Приведен пример, показывающий, что при $r$ достаточно близких к 1, имеет место строгое неравенство $\mu(r,n)>r^n$.