Принцип предельного поглощения и рассеяние на некомпактных препятствиях, I

В области $\Omega\subset R^m$ с бесконечной границей $\partial\Omega$ рассматривается действующий в $L^2(\Omega)$ оператор $H=-\nabla(a(x)\nabla u)+q(x)u$, $u|_{\partial\Omega}=0$; $|a-1|+r|\nabla a|=O(r^{-2})$, $q=O(r^{-1-\varepsilon})$, $\varepsilon>0$. Предполагается $\langle a(x)x,\nu(x)\rangle\le0$, где $\nu(x)$ – орт внешней нормали, $x\in\partial\Omega$, $r=|x|\ge R_0$. Пусть $J_\Omega\colon L^2(\Omega)\to L^2(R^m)$ – оператор распространения функции нулем; $p$ – спектральный проектор для $H$, отвечающий положительной полуоси; $H_0$ – оператор $(-\triangle)$ в $L^2(R^m)$. При некоторых дополнительных ограничениях на $\partial\Omega$ устанавливается существование и изометричность волновых операторов
$$ W_\pm(H_0,J_\Omega,H)=\operatorname{s-lim}\limits_{t\to\pm\infty}\exp(itH_0)J_\Omega\exp(-itH)p. $$
Отсюда выводятся условия того, когда существуют, изометричны и полны операторы $W_\pm(H_1,J,H)$. Здесь $J=J_{\Omega_1}^*J_\Omega$, $H_1$ – оператор того же типа, что и $H$ в $L^2(\Omega_1)$, $a(x)=a_1(x)$ на $\Omega_1\cap\Omega$. Библ. 11.