О погрешностях метода Гаусса решения линейных алгебраических систем
С. Г. Михлин г. Ленинград
Аннотация:
$Ax=f$ – линейная алгебраическая система с неособенной матрицей
$A$ порядка
$n\times n$; для решения этой системы применяется схема “единственного деления по наибольшему элементу” метода Гаусса. По этому методу матрица
$\bar A$, получаемая из
$A$ некоторой перестановкой ее строк и столбцов, разлагается в произведение
$\bar A=L^{-1}U$, где
$U$ и
$L$ – треугольные матрицы, соответственно верхняя и нижняя, и главная диагональ матрицы
$L$ состоит из единиц.
При прямом ходе метода Гаусса возникает погрешность искажения вектора решений
$x$, а при обратном ходе – погрешность искаженного вектора решений
$z$. Для погрешности искажения вектора
$x$ получена оценка
\begin{equation}
(\|A^{-1}\|/(1-\beta))\sqrt{n(n+1)/2}(\|\Gamma\|\,\|x\|+\|\delta\|),
\tag{1}
\end{equation}
а для погрешности округления вектора
$z$ – оценка
\begin{equation}
(\|A^{-1}\|/(1-\beta))n\sqrt{(n+1)/2}\varepsilon.
\tag{2}
\end{equation}
Здесь
$\beta$ – произвольное число из интервала
$(0,1)$,
$\Gamma$ – искажение матрицы
$U$,
$\delta$ – искажение столбца свободных членов системы
$U\bar x=\widetilde{Lf}$, к которой приводит прямой ход метода Гаусса,
$\varepsilon$ – положительное число, характеризующее точность вычислений при обратном ходе. Матрица
$\Gamma$ подчинена неравенству
$\|\Gamma\|\,\|A^{-1}\sqrt{n(n+1)/2}\le\beta$. Общая погрешность вектора решений оценивается суммой величин (1) и (2). Библ. 7.
УДК:
519.612 Поступила: 04.11.1982