Проблема нижних окрестностей в пространстве с замыканием и теорема о финитарности

Изучаются условия, при которых в множестве с замыканием (пространстве) все конечно-порождаемые классы имеют конечные нижние окрестности. Устанавливается финитарность такого пространства. Попутно уточняется теорема Г. Биркгофа и О. Фринка о финитарности. Рассматриваемые вопросы представляют интерес в связи с проблемами полноты и выразимости в пространствах дискретных функций с замыканием относительно суперпозиции.