Свойства и применения функции расстояния открытого подмножества в евклидовом пространстве

Для открытого подмножества евклидова пространства размерности $n$ последовательностями открытых множеств рассмотрены внутренняя и внешняя аппроксимации. Доказаны сходимость всюду соответствующих последовательностей функций расстояния до границы множеств и сходимость почти всюду их градиентов. Как приложения получены новые неравенства типа Харди, содержащие скалярное произведение градиента пробной функции и градиента функции расстояния до границы заданного открытого подмножества евклидова пространства.