О свойстве радиальной симметрии для гармонических функций

Пусть $\Gamma$ – замкнутая гладкая жорданова кривая в комплексной плоскости $\mathbb{C}$, $G$ – ограниченная область в $\mathbb{C}$ с границей $\Gamma$, $\overline{G}=G\cup\Gamma$. Изучаются функции, непрерывные в $\mathbb{C}\setminus G$ и гармонические в $\mathbb{C}\setminus\overline{G}$, которые растут медленнее, чем функция $|z|^2$ при $z\to\infty$. Показано, что если в классе таких функций существует решение переопределенной граничной задачи Неймана, в которой требуется равенство нулю функции на $\Gamma$ и существование и равенство единице нормальной производной функции $\mu$ -почти всюду на $\Gamma$, то область $G$ является кругом (теорема 1). В этом случае решение является единственным и с точностью до константы совпадает с фундаментальным решением для оператора Лапласа в $\mathbb{\mathbb{C}}$ и особенностью в центре круга $G$. Доказательство теоремы 1 основано на применении конформного отображения внешности единичного круга на область $\mathbb{C}\setminus \overline{G}$. Это отображение позволяет свести исходную задачу для области $\mathbb{C}\setminus \overline{G}$ к переопределенной краевой задаче для внешности круга, в которой основной трудностью является неоднородность граничного условия для нормальной производной. Для изучения этого условия потребовались некоторые тонкие результаты о граничных свойствах функции, осуществляющей указанное выше конформное отображение, а также некоторые свойства классов Харди $H_p$ в единичном круге. Теорема 2 работы показывает, что условия в теореме 1 в общем случае ослабить нельзя. В ней утверждается существование отличной от круга ограниченной области $G\subset\mathbb{C}$ с гладкой жордановой границей $\Gamma$ и функций $f_1,f_2,f_3\in C(\mathbb{C}\setminus G)$, гармонических в $\mathbb{C}\setminus\overline{G}$, для каждой из которых не выполнено ровно одно из условий теоремы 1.