Чего можно ожидать от образа $\sigma$-дериваций на банаховых алгебрах?

Главная цель данной статьи заключается в получении некоторых результатов об образе $\sigma$-дериваций на банаховых алгебрах. Одним из основных результатов этой работы является доказательство того, что для коммутативной банаховой алгебры $\mathcal{A}$ и непрерывной $\sigma$-деривации $d:\mathcal{A} \rightarrow \mathcal{A}$ такой, что $\sigma$ является непрерывным гомоморфизмом, причем $d \sigma = \sigma d = d$ и $\sigma^{2} = \sigma$, выполняется включение $d(\mathcal{A}) \subseteq {\rm rad}(\mathcal{A})$, где ${\rm rad}(\mathcal{A})$ обозначает радикал Джекобсона алгебры $\mathcal{A}$. Более того, мы получаем теорему Синклера для $\sigma$-дериваций без предположения о непрерывности. А именно, при определенных условиях мы доказываем, что если $d$ является $\sigma$-деривацией на банаховой алгебре $\mathcal{A}$, то $d(\mathcal{P}) \subseteq \mathcal{P}$ для любого примитивного идеала $\mathcal{P}$ алгебры $\mathcal{A}$. Также обсуждаются и некоторые другие результаты, касающиеся данной темы.