О представлении полугрупповой $C^*$-алгебры в виде скрещенного произведения

Строится полупрямое произведение $\mathbb{Z}\rtimes_{\varphi}\mathbb{Z}^{\times}$ аддитивной группы целых чисел $\mathbb{Z}$ и мультипликативной полугруппы целых чисел без нуля $\mathbb{Z}^{\times}$ относительно гомоморфизма $\varphi$ из $\mathbb{Z}^{\times}$ в полугруппу эндоморфизмов группы $\mathbb{Z}$. Показывается, что полугруппа $\mathbb{Z}\rtimes_{\varphi}\mathbb{Z}^{\times}$ является нормальным расширением декартова произведения $\mathbb{Z}\times \mathbb{N}$ с помощью группы вычетов по модулю два, где $\mathbb{N}$ — мультипликативная полугруппа всех натуральных чисел. Изучаются приведенные полугрупповые $C^*$-алгебры для полугрупп $\mathbb{Z}\rtimes_{\varphi}\mathbb{Z}^{\times}$ и $\mathbb{Z}\times \mathbb{N}$. Рассматривается динамическая система для полугрупповой $C^*$-алгебры полугруппы $\mathbb{Z}\times \mathbb{N}$, а также задается ее ковариантное представление. Полугрупповая $C^*$-алгебра для полугруппы $\mathbb{Z}\rtimes_{\varphi}\mathbb{Z}^{\times}$ представляется в виде скрещенного произведения $C^*$-алгебры для полугруппы $\mathbb{Z}\times \mathbb{N}$ с группой вычетов по модулю два.