RUS  ENG
Полная версия
ЖУРНАЛЫ // Известия высших учебных заведений. Математика // Архив

Изв. вузов. Матем., 2024, номер 3, страницы 15–37 (Mi ivm9960)

Исследование асимптотики собственных значений одной квазидифференциальной краевой задачи второго порядка

М. Ю. Ватолкин

Ижевский государственный технический университет им. М.Т. Калашникова, ул. Студенческая, д. 7, г. Ижевск, 426069, Россия

Аннотация: Для квазидифференциальной краевой задачи Штурма–Лиувилля на собственные значения и собственные функции, рассматриваемой на отрезке $J=[a,b]$, с краевыми условиями I рода слева, I рода справа, т. е. для задачи вида (в явной форме записи)
\begin{gather*} p_{22}(t)\Big(p_{11}(t)\big(p_{00}(t)x(t)\big)^{\prime} +p_{10}(t)\big(p_{00}(t)x(t)\big)\Big)^{\prime}+ p_{21}(t)\Big(p_{11}(t)\big(p_{00}(t)x(t)\big)^{\prime} +p_{10}(t)\big(p_{00}(t)x(t)\big)\Big)+ \\ +p_{20}(t)\big(p_{00}(t)x(t)\big)= -\lambda \big(p_{00}(t)x(t)\big) \ (t\in J=[a,b]),\\ p_{00}(a)x(a)=p_{00}(b)x(b)=0, \end{gather*}
строится асимптотика собственных значений. Требования на гладкость коэффициентов (т. е. функций $p_{ik}(\cdot):J\to {\mathbb R}, k\in 0:i, i\in0:2)$ в уравнении минимальные: функции $p_{ik}(\cdot):J\to {\mathbb R}$ таковы, что функции $ p_{00}(\cdot) $ и $ p_{22}(\cdot) $ измеримы, неотрицательны, почти всюду конечны и почти всюду отличны от нуля, функции $p_{11}(\cdot)$ и $p_{21}(\cdot)$ также неотрицательны на отрезке $J,$ кроме того, функции $ p_{11}(\cdot) $ и $ p_{22}(\cdot) $ ограничены в существенном на $J,$ функции
$$ \dfrac{1}{p_{11}(\cdot)},\ \ \dfrac{p_{10}(\cdot)}{p_{11}(\cdot)},\ \ \dfrac{p_{20}(\cdot)}{p_{22}(\cdot)},\ \ \dfrac{p_{21}(\cdot)}{p_{22}(\cdot)},\ \ \dfrac{1}{\min \{ p_{11}(t) p_{22}(t), 1 \}} $$
суммируемы на $J.$ В роли потенциала выступает функция $p_{20}(\cdot).$ Доказывается, что при условии неосцилляции однородного квазидифференциального уравнения второго порядка на $J$ асимптотика собственных значений рассматриваемой краевой задачи имеет вид
$$ \lambda_k=\big(\pi k\big)^2 \Big(D+O\big({1}\big{/}{k^2}\big)\Big) $$
при $k \rightarrow \infty,$ где $D$ — вещественная положительная константа, определяемая некоторым образом.

Ключевые слова: собственная функция, собственное значение, степенной ряд, оценки для коэффициентов, квазидифференциальное уравнение, краевая задача, сумма ряда, представление собственных функций в виде сумм степенных рядов.

УДК: 517.927

Поступила: 13.02.2023
Исправленный вариант: 30.03.2023
Принята к публикации: 29.05.2023

DOI: 10.26907/0021-3446-2024-3-15-37



© МИАН, 2024