Метод Ньютона построения точных решений нелинейных дифференциальных и неинтегрируемых эволюционных уравнений

Предложена модификация метода степенных рядов Ньютона для решения нелинейных обыкновенных и неинтегрируемых эволюционных уравнений. На первом этапе метода определяется несколько первых членов степенного ряда для искомой зависимой переменной. Для этого используется либо прямое разложение в степенной ряд по независимой переменной с последующей подстановкой в уравнение, либо разложение в функциональный ряд метода возмущений по степеням формального параметра. Во втором случае последовательное решение уравнений метода возмущений позволяет выразить члены ряда в форме возрастающих натуральных степеней экспоненциального решения линеаризованной задачи и получить степенной ряд после соответствующей замены. На втором этапе метода постулируется геометричность полученного степенного ряда. Для большинства интегрируемых уравнений такой ряд оказывается безусловно геометрическим, то есть найденные слагаемые составляют последовательность геометрической прогрессии. Для многих неинтегрируемых уравнений возникают условия, связывающие коэффициенты уравнения с параметрами искомого решения, при выполнении которых члены ряда образуют геометрическую прогрессию. В этих случаях сумма геометрической прогрессии есть точное решение исходного уравнения. Показано, что знаменатель прогрессии представляется многочленом, степень которого не может быть меньшей порядка полюса решения уравнения. Эффективность метода продемонстрирована на нелинейном обыкновенном дифференциальном уравнении третьего порядка и семействе обобщенных эволюционных уравнений Курамото-Сивашинского, для которых построены точные рациональные и уединенно-волновые решения. Указаны достоинства и недостатки предложенного метода по сравнению с другими известными методами решения нелинейных дифференциальных уравнений.