RUS  ENG
Полная версия
ЖУРНАЛЫ // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика // Архив

Известия вузов. ПНД, 2019, том 27, выпуск 1, страницы 96–114 (Mi ivp7)

НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА В ЛИЦАХ. ИСТОРИЯ

О развитии качественных методов решения нелинейных уравнений и некоторых последствиях

Е. М. Богатов

Старооскольский технологический институт (филиал МИСиС)

Аннотация: Цель. Целью работы является исследование развития метода неподвижной точки и теории степени отображения, связанных с именами П. Боля, Л. Брауэра, К. Борсука, С. Улама и др. и его применения к изучению поведения траекторий динамических систем и устойчивых состояний упорядоченных сред. Метод. Исследование основано на анализе фундаментальных работ перечисленных математиков 1900-1930 гг., а также более поздних результатов Н. Левинсона, Т. Воловика, В. Минеева, Дж. Толанда и Х. Хофера прикладного характера. Результаты. Работы Брауэра внесли существенный вклад в теорию разрешимости нелинейных уравнений вида $f(x) = x$ в конечномерной постановке. Этому предшествовало изучение сингулярных точек векторных полей, предпринятое А. Пуанкаре, а также доказательство теоремы Боля о невозможности отображения круга на свою границу. Первым математиком, использовавшим метод неподвижной точки в изучении систем дифференциальных уравнений, был Боль. Эта тема получила своё продолжение через 40 лет в работах Левинсона, который показал наличие в детерминированных диссипативных динамических системах хотя бы одного периодического решения. Введённое Брауэром фундаментальное понятие степени отображения (${\rm deg} f$) «заиграло» в самых неожиданных ситуациях. Исследования Воловика и Минеева выявили прямую зависимость дефектов упорядоченных сред от топологического инварианта $\mathrm{deg} f$, характеризующего отображение $f$ окрестности особой точки на сферу. Другое нестандартное применение степени отображения обнаружили Толанд и Хофер при изучении некоторых гамильтоновых систем. Вычисление $\mathrm{deg} f$ для отображений специального вида помогли им доказать существование периодических, гомоклинических и гетероклинических траекторий указанных систем. Обсуждение. Метод неподвижной точки и степень отображения — основные инструменты качественных методов решения нелинейных уравнений. Они оказались востребованными не только в рамках математики, но и в приложениях, причём эта тенденция, по-видимому, будет сохраняться и при переходе к бесконечномерному случаю.

Ключевые слова: история нелинейного функционального анализа, индекс Кронекера-Пуанкаре, качественные методы, топологические методы анализа, степень отображения, теорема о неподвижной точке, теорема об антиподальном отображении, устойчивые неоднородные состояния в упорядоченных средах, динамические системы, хаотическая динамика.

УДК: 51 (09)

Поступила в редакцию: 28.04.2018
Принята в печать: 29.10.2018

DOI: 10.18500/0869-6632-2019-27-1-96-114



Реферативные базы данных:


© МИАН, 2024