Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода с особенностями второго порядка на классе функций с весом $((1+x)/(1-x))^{\pm 1/2}$

Актуальность и цели. Приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений являются активно развивающимся направлением вычислительной математики. Это связано с многочисленными приложениями гиперсингулярных интегральных уравнений в аэродинамике, электродинамике, физике и с тем обстоятельством, что аналитические решения гиперсингулярных интегральных уравнений возможны лишь в исключительных случаях. Помимо непосредственных приложений в физике и технике, гиперсингулярные интегральные уравнения первого рода возникают при приближенном решении граничных задач математической физики. В последнее время интерес к исследованию аналитических и численных методов решения гиперсингулярных интегральных уравнений значительно усилился в связи с их активным применением при моделировании различных задач в радиотехнике и радиолокации. Оказалось, что одним из основных методов математического моделирования антенн являются гиперсингулярные интегральные уравнения. В данной работе предложены и обоснованы проекционные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода с особенностями второго порядка. Исследуется случай, когда решение имеет вид $x(t)=(1-t^2)^{\pm 1/2} \phi(t)$. Материалы и методы. Используются методы функционального анализа и теории приближения. Введены функциональные пространства, в которых действуют гиперсингулярные операторы. Для доказательства разрешимости предложенной вычислительной схемы и оценки точности приближенного метода используется общая теория приближенных методов Канторовича. Результаты. Построена вычислительная схема приближенного решения гиперсингулярных интегральных уравнений с особенностями второго порядка на классе решений вида $x(t)=(1-t^2)^{\pm 1/2} \phi(t)$. Получены оценки быстроты сходимости и погрешности вычислительной схемы. Выводы. Построена и обоснована вычислительная схема приближенного решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода, определенных на сегменте $[-1,1]$. Полученные результаты могут быть использованы при решении задач аэродинамики (уравнение конечного крыла), электродинамики (дифракция на различных экранах), гидродинамики (теория подводного крыла), при решении уравнений математической физики методом граничных интегральных уравнений.