О гладкой и нигде не равной нулю плотности распределения решения стохастического дифференциального уравнения на многообразии

Актуальность и цели. Производные в среднем были введены Э. Нельсоном и со временем они стали изучаться как отдельный класс стохастических дифференциальных уравнений. В данной работе применяется аппарат производных в среднем для нахождения условий, при которых плотности вероятности решения стохастического дифференциального уравнения на односвязном многообразии $C^\infty$-гладкие и нигде не равны нулю. Используется так называемое соглашение Эйнштейна о суммировании, т.е. символом $\frac{\partial}{\partial x_i}$ обозначается и $i$-я частная производная в карте, и $i$-й вектор базиса в касательном пространстве. Материалы и методы. В исследовании используются методы стохастического анализа на многообразиях. Результаты. Найдены достаточные условия, при которых плотность распределения решения стохастического дифференциального уравнения на односвязном многообразии является $C^\infty$-гладкой функцией, нигде не равной нулю. Выводы. Полученные результаты могут быть использованы для исследования вопросов существования решений стохастических дифференциальных уравнений и включений на многообразиях.