Об изучении спектра семейства дифференциальных операторов, потенциалы которых сходятся к дельта-функции Дирака

Актуальность и цели. В работе предлагается новый метод исследования дифференциальных операторов с разрывными коэффициентами. Изучается последовательность дифференциальных операторов высокого четного порядка, потенциалы которых сходятся к дельта-функции Дирака. Предполагается, что потенциал оператора является кусочно-суммируемой функцией на отрезке задания оператора. В точках разрыва потенциала требуется выполнение условий «склейки» для корректного определения решений соответствующих дифференциальных уравнений. Исследованы спектральные свойства дифференциальных операторов, заданных на конечном отрезке, с одним из видов разделенных граничных условий. При больших значениях спектрального параметра методом Наймарка получена асимптотика фундаментальной системы решений соответствующих дифференциальных уравнений. С помощью этой асимптотики изучены условия «склейки» рассматриваемого дифференциального оператора. Затем изучены граничные условия исследуемого оператора. В результате выведено уравнение на собственные значения изучаемого оператора, которое представляет собой целую функцию. Исследована индикаторная диаграмма уравнения на собственные значения, которая является правильным шеснадцатиугольником. В различных секторах индикаторной диаграммы методом последовательных приближений Пикара найдена асимптотика собственных значений изучаемых дифференциальных операторов. В предельном случае найденная асимптотика собственных значений стремится к асимптотике собственных значений оператора, потенциалом которого является дельта-функция Дирака. Материалы и методы. Асимптотика фундаментальной системы решений дифференциальных уравнений с суммируемыми потенциалами при больших значениях спектрального параметра получена обобщенным методом Наймарка. Для нахождения корней уравнения на собственные значения изучаемого оператора методом Беллмана - Кука исследована индикаторная диаграмма, которая является правильным шеснадцатиугольником. Асимптотика собственных значений изучаемых дифференциальных операторов в различных секторах индикаторной диаграммы найдена методом последовательных приближений Пикара. Результаты. Изучен спектр ранее не изучаемого семейства дифференциальных операторов высокого четного порядка, потенциалы которых сходятся к дельта-функции Дирака. С учетом условия «склейки» в точках разрыва потенциалов доказано, что уравнение на собственные значения представляет собой квазиполином, корни которого можно найти методом Беллмана - Кука. Аналогичные результаты можно получить и для других видов разделенных граничных условий. Выводы. Полученные новые результаты об асимптотике спектра семейства дифференциальных операторов могут быть применены к исследованию базисности собственных функций аналогичных операторов, изучению функции Грина и вычислению формул регуляризованных следов операторов, последовательность потенциалов которых сходится к дельта-функции Дирака. Метод дельта-потенциалов применяется в физике для исследования короткодействующих примесей, дефектов в различных системах. В атомной и ядерной физике огромную популярность имеет модель точечных потенциалов, это подтверждает необходимость изучения операторов с дельта-потенциалами.