О многомерных нелинейных уравнениях, связанных с уравнениями Лапласа и теплопроводности функциональными подстановками

Актуальность и цели. Рассматривается применение метода функциональных подстановок типа Коула - Хопфа к многомерным задачам динамики волн и гидромеханики. С помощью дополнительных преобразований строятся решения уравнения Лиувилля в двумерном координатном пространстве и анализируются отображения пространства решений этого уравнения в себя и в уравнение Лапласа. Материалы и методы. Методом исследования рассматриваемых уравнений в данной работе является метод функциональных подстановок типа Коула - Хопфа. Данный метод позволяет, исходя из совокупности простых базовых дифференциальных соотношений относительно одной вспомогательной функции и дополнительного уравнения для нее, вычислять связанные с этим уравнением новые нелинейные уравнения, решения которых строятся в виде дифференциальных подстановок. Простейшим примером применения такого подходя является подстановка Коула - Хопфа для уравнения Бюргерса. Такой подход оказывается эффективным для целого ряда задач. В данной работе используется многомерное расширение метода функциональных подстановок, что позволяет получить ряд полезных результатов, касающихся динамики жидкости в трехмерном пространстве. Результаты. Показано, что в двумерном пространстве существуют бесконечные рекуррентные цепочки преобразований уравнений Лапласа и Лиувилля в себя, связанные с возрастающим порядком производных одной исходной функцией, являющейся решением уравнения Лапласа. С помощью подстановок и отображений вычисляется форма нелинейных уравнений, связанных также с уравнением Гельмгольца в двумерном координатном пространстве. Рассматриваемый подход затем применяется к многомерным уравнениям теплопроводности и устанавливается связь решений этих уравнений с решениями многомерных уравнений вязкой сжимаемой и несжимаемой жидкости в классе потенциальных течений. Это позволяет указать способ вычисления точных решений уравнений Навье - Стокса на основе решений уравнений теплопроводности. В заключении рассматривается задача вычисления с помощью подстановок многомерных уравнений, связанных с уравнением теплопроводности и Лапласа. В работе показано, что такие уравнения можно свести к неоднородным уравнениям типа Лиувилля, неоднородность которых связана со свойствами полей единичных векторов на соответствующем координатном пространстве. Выводы. Развитый в работе многомерный вариант метода функциональных подстановок позволяет получить полезные для прикладных задач соотношения, связывающие решения простых уравнений типа Лапласа, теплопроводности и Гельмгольца с нелинейными уравнениями, имеющими отношение к волновой динамике и гидромеханике. Полученные результаты расширяют область применения метода функциональных подстановок к задачам теоретической и математической физики.