О разрешимости гиперсингулярных интегральных уравнений

Актуальность и цели. Гиперсингулярные интегральные уравнения являются активно развивающимся направлением математической физики. Это связано с многочисленными приложениями гиперсингулярных интегральных уравнений в аэродинамике, электродинамике, квантовой физике, геофизике. Помимо непосредственных приложений в физике и технике, гиперсингулярные интегральные уравнения возникают при решении граничных задач математической физики. В последнее время опубликован цикл работ, посвященных приближенным методам решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого и второго рода на замкнутых и разомкнутых контурах интегрирования. Интерес к этим методам связан с непосредственными приложениями гиперсингулярных интегральных уравнений к аэродинамике и электродинамике. В то же время отсутствует общая теория гиперсингулярных интегральных уравнений - отсутствуют утверждения о существовании и единственности решений гиперсингулярных интегральных уравнений. В данной статье получен ряд утверждений о разрешимости гиперсингулярных интегральных уравнений. Наличие этих утверждений позволяет более эффективно использовать гиперсингулярные интегральные уравнения в многочисленных приложениях. Материалы и методы. В работе используются методы функционального анализа, теории сингулярных интегральных уравнений и обобщенной краевой задачи Римана. Рассмотрены линейные одномерные гиперсингулярные интегральные уравнения на замкнутых контурах интегрирования. Результаты. Получены общие утверждения о существовании и единственности решений гиперсингулярных интегральных уравнений, заданных на замкнутых контурах интегрирования. Выводы. Получены общие утверждения о существовании решений гиперсингулярных интегральных уравнений. Эти утверждения позволяют при решении прикладных задач поставить задачу о нахождении всех решений рассматриваемой задачи. Полученные результаты могут быть использованы при решении задач аэродинамики, электродинамики, гидродинамики, при решении уравнений математической физики методом граничных интегральных уравнений.