О методах реализации UD-фильтра

Актуальность и цели. Фильтр Калмана является математическим инструментом, завоевавшим широкую популярность среди специалистов в области оценивания и управления. Но он имеет один существенный недостаток – неустойчивость по отношению к ошибкам машинного округления при его практической реализации на ЭВМ. Проблема ошибок машинного округления является неустранимой ввиду ограниченной разрядности представления вещественных чисел с плавающей запятой на ЭВМ. Однако можно существенно уменьшить влияние ошибок машинного округления в алгебраически эквивалентных реализациях фильтра Калмана, которые называют численно эффективными реализациями. Они основаны на различных математических методах факторизации ковариационных матриц ошибок оценок, участвующих в уравнениях фильтра. Целью работы является изучение основных методов построения UD-реализаций дискретного фильтра Калмана, обладающих улучшенными вычислительными свойствами по сравнению со стандартной реализацией фильтра Калмана, а также построение новой расширенной формы ортогонализованного UD-фильтра, которая должна обладать следующими свойствами: устойчивость по отношению к ошибкам машинного округления; отсутствие операции извлечения квадратного корня; избавление от операции матричного обращения на каждой итерации алгоритма; компактность и удобство записи ортогонализованной формы UD-фильтра. Материалы и методы. Рассматриваются методы реализации UD-фильтров. Первой UD-реализацией фильтра Калмана является последовательный алгоритм Бирмана, а самыми современными являются ортогонализованные блочные алгоритмы. Подход к построению квадратно-корневых ортогонализованных блочных алгоритмов был предложен Кайлатом. В настоящей работе именно этот подход применяется для построения новой формы расширенного ортогонализованного UD-фильтра. Результаты. В работе изучены существующие к настоящему времени методы построения UD-фильтра. Наиболее эффективными в вычислительном плане и подходящими для реализации на современных вычислительных комплексах являются ортогонализованные формы UD-фильтра. Предложена новая форма расширенного ортогонализованного UD-фильтра, обладающая рядом преимуществ по сравнению с другими. Выводы. UD-алгоритмы в последовательной и матричной ортогонализованной формах являются эффективными в вычислительном плане реализациями дискретного фильтра Калмана. Их преимущества: 1) устойчивость по отношению к ошибкам машинного округления; 2) отсутствие операции извлечения квадратного корня; 3) избавление от операции матричного обращения на каждой итерации алгоритма; 4) компактность и удобство записи ортогонализованной формы UD-фильтра. Численные эксперименты показали работоспособность предложенной новой формы расширенного ортогонализованного UD-фильтра и ее устойчивость по отношению к ошибкам машинного округления на примерах плохо обусловленных задач.