О типичных однородных векторных полях

Актуальность и цели. Исследование динамических систем с симметрией представляет как теоретический, так и прикладной интерес. Фазовые портреты динамических систем, задаваемых однородными векторными полями, инвариантны относительно группы растяжений фазового пространства. В первую очередь естественно описать типичные однородные векторные поля. Структура фазовых портретов типичных однородных векторных полей на проективной плоскости известна. Целью настоящей работы является получение некоторых типичных свойств однородных векторных полей в фазовом пространстве размерности три и больше. Материалы и методы. В работе применяются методы качественной теории дифференциальных уравнений и функционального анализа. Результаты. Рассматриваются однородные векторные поля в m -мерном арифметическом пространстве степени $n>0$, имеющие непрерывные производные везде, кроме, быть может, начала координат. Траектории однородных векторных полей естественно продолжаются на компактификацию пространства - шар Пуанкаре. Показано, что векторные поля, имеющие в шаре Пуанкаре с выколотым началом координат только гиперболические особые точки и замкнутые траектории, типичны: они образуют массивное множество в банаховом пространстве однородных векторных полей. Вводится понятие слабо структурно устойчивого однородного векторного поля. Получены необходимые и достаточные условия слабой структурной устойчивости при $m=3$. Показано, что в банаховом пространстве однородных векторных полей слабо структурно устойчивые векторные поля образуют открытое всюду плотное множество. Выводы. Слабая структурная устойчивость однородных векторных полей в трехмерном пространстве - типичное свойство.