Устойчивость решений систем параболических уравнений с запаздываниями

Актуальность и цели. Работа посвящена анализу устойчивости в смысле Ляпунова установившихся решений систем линейных параболических уравнений с коэффициентами, зависящими от времени, и с запаздываниям, зависящими от времени. Рассматриваются случаи непрерывного и импульсного возмущений. Материалы и методы. Метод исследования устойчивости решений систем линейных параболических уравнений состоит в следующем. Применив преобразование Фурье к исходной системе параболических уравнений, приходим к определенной в спектральной области системе нестационарных обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздываниями, зависящими от времени. Сначала устойчивость полученной системы исследуется методом замороженных коэффициентов в метрике пространства $R_n$-мерных векторов. Затем полученные утверждения распространяются на пространство $L_2$. Применение равенства Парсеваля позволяет вернуться в область оригиналов и получить достаточные условия устойчивости решений систем линейных параболических уравнений. Результаты. Предложен алгоритм, позволяющий получать достаточные условия устойчивости решений конечных систем линейных параболических уравнений с коэффициентами и с запаздываниями, зависящими от времени. Достаточные условия устойчивости выражены через логарифмические нормы матриц, составленных из коэффициентов системы параболических уравнений. Они получены в метрике пространства $L_2$. Алгоритмы построения достаточных условий устойчивости эффективны как в случае непрерывных, так и в случае импульсных возмущений. Выводы. Предложен метод построения достаточных условий устойчивости решений конечных систем линейных параболических уравнений с коэффициентами и запаздываниями, зависящими от времени. Метод может быть использован при исследовании нестационарных динамических систем, описываемых системами линейных параболических уравнений с запаздываниями, зависящими от времени.