Об одном методе восстановления граничного условия для линейных уравнений параболического типа

Актуальность и цели. Задача об определении неизвестного граничного условия часто возникает в различных областях физики и техники в тех случаях, когда непосредственное измерение характеристик поля на части границы затруднено, либо же вовсе невозможно. Примеры задач такого типа можно встретить, в частности, в геофизике, ядерной физике, в обратных задачах теплообмена и т.д. Их сложность в значительной степени обусловлена их некорректностью, т.е. неустойчивостью их решения к возмущениям исходных данных. Учет этого свойства при решении обратных задач приводит к необходимости в разработке специальных методов регуляризации. Несмотря на многочисленные работы, выполненные в данном направлении, до настоящего момента не теряет актуальности проблема разработки новых численных методов решения граничных обратных задач математической физики.
Материалы и методы. Рассматривается начально-краевая задача для одномерного уравнения теплопроводности. Ставится задача о приближенном восстановлении неизвестного граничного условия на одном из концов интервала изменения пространственной переменной в предположении о том, что известными являются функции, определяющие начальное условие, а также граничное условие на другом конце интервала изменения пространственной переменной. В качестве дополнительной информации используются функционалы от решения исходной начально-краевой задачи при некотором фиксированном значении пространственной переменной. При конструировании численного алгоритма решения поставленной задачи (в интегральном представлении) используется подход, основанный на аппроксимации по коллокационной технологии полученного интегрального уравнения и реализации вычислительной схемы итерационным процессом, построенным на базе непрерывного операторного метода решения уравнений в банаховых пространствах. В числе достоинств метода следует назвать в первую очередь его простоту, а также универсальность и устойчивость к возмущениям исходных данных.
Результаты. Построены численные методы решения обратной граничной задачи для одномерного линейного параболического уравнения. Рассмотрены первая и вторая краевые задачи. Эффективность предложенных методов проиллюстрирована решением ряда модельных примеров.
Выводы. Подход к решению прямых и обратных задач математической физики, основанный на применении непрерывного операторного метода решения уравнений в банаховых пространствах, оказался эффективен при решении граничной обратной задачи для линейного одномерного уравнения теплопроводности. Весьма перспективным видится дальнейшее развитие этого подхода для применения его к решению задачи одновременного восстановления нескольких граничных условий, а также к решению обратных граничных задач для многомерных уравнений.