Преобразования Бэклунда для уравнений Лиувилля с показательной нелинейностью

Актуальность и цели. Изучение преобразований Бэклунда является одной из актуальных тем в теории дифференциальных уравнений в частных производных. Такие преобразования применяются для нахождения решений нелинейных дифференциальных уравнений, в том числе и солитонных. Вместе с этим они представляют собой пример дифференциально-геометрической структуры, порожденной дифференциальными уравнениями. Преобразования Бэклунда дают возможность получить не только пары уравнений, но и решение одного из них, если решение другого известно. Данные преобразования играют важную роль в интегрируемых системах, так как выявляют внутренние связи между различными интегрируемыми свойствами, такими как определение симметрий, наличие гамильтоновой структуры. В последнее время в этой области было проведено много исследований. Цель работы - получение новых преобразований и автопреобразований Бэклунда для обобщенных уравнений Лиувилля с показательно-степенной нелинейностью, имеющей множитель, зависящий от первых производных.
Материалы и методы. Рассматривается построение преобразований Бэклунда для нелинейных уравнений в частных производных второго порядка солитонного типа с логарифмической нелинейностью и гиперболической линейной частью. Построение преобразований базируется на методе, предложенном Клэрэном, для уравнений второго порядка типа Монжа - Ампера.
Результаты. Для исследуемых уравнений с помощью преобразований Бэклунда найдены новые уравнения, которые дают возможность отыскать решения исходных нелинейных уравнений, а также выявить внутренние связи между различными интегрируемыми уравнениями.
Выводы. Результаты представляют интерес для изучения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, в частности солитонных уравнений. Полученные с помощью дифференциальных связей новые уравнения могут использоваться для дальнейших исследований уравнений данного типа, а также при решении множества прикладных задач в физике и технике.