Новый пример конечномерной редукции дискретной цепочки типа цепочки Тоды

Актуальность и цели. Интегрируемые дискретные уравнения чаще всего рассматривают в рамках численного исследования своих непрерывных аналогов. В то же время непрерывные уравнения получены с помощью предельного перехода от дискретных систем. Во многих отношениях дискретная картина оказывается более исследуемой и фундаментальной нежели дифференциальная. Разностные уравнения, или цепочки, возникают во многих задачах математической физики. Дискретные уравнения часто рассматриваются как преобразования Бэклунда непрерывных и дифференциально-разностных уравнений. Построение конечномерных редукций интегрируемых систем является одним из наиболее эффективных способов получения их частных решений. Целью данной работы является построение новых конечномерных редукций для интегрируемой дискретной цепочки типа цепочки Тоды и анализ интегрируемости полученных конечномерных редукций.
Материалы и методы. Одним из признаков интегрируемости системы уравнений является существование ее представления в виде условия совместности двух линейных уравнений (L-A пара). Именно на этом свойстве интегрируемой дискретной системы основано построение граничных условий и интегралов движения полученных конечномерных редукций. В работе используются основные методы симметрийного подхода к исследованию интегрируемых систем. Привлекаются методы теории уравнений с частными производными и обыкновенных дифференциальных уравнений.
Результаты. Найдена новая конечномерная редукция дискретной цепочки типа цепочки Тоды, совместимая с L-A парой. Построены интегралы движения, определена дифференциально-разностная симметрия полученной конечномерной системы и показана ее интегрируемость в квадратурах. Представлены граничные условия, приводящие систему к одной из версий дискретного уравнения Пенлеве $dP_{I}$ .
Выводы. Простой и эффективный способ построения интегрируемых конечномерных редукций основан на совместимости граничных условий с L-A парой. Дискретные аналоги уравнений Пенлеве могут быть получены как конечномерные редукции дискретной цепочки Тоды. Для построения пары Лакса дискретного уравнения Пенлеве как конечномерной редукции интегрируемой цепочки типа цепочки Тоды необходимо дальнейшее изучение граничных условий совместимых с L-A парой.