Об одном подходе выявления периодических и ограниченных решений линейных динамических систем

Актуальность и цели. Цель работы - улучшить (упростить) критерий выразимости всех функций $x_1(t), x_2(t),...,x_n(t)$, входящих в систему $x'(t)=A \cdot x(t)$, в виде линейных комбинаций производных только одной неизвестной функции $x_k(t)$, входящей в эту систему, и применить его для выявления периодического и ограниченного решения системы $x'(t)=A \cdot x(t)$. Материалы и методы. Суть предложенного подхода заключается в том, что конструирование и исследование решения системы эквивалентно $x'(t)=A \cdot x(t)$ сводится к одному скалярному дифференциальному уравнению высокого порядка. Результаты. Сформулирован ослабленный (улучшенный) критерий выразимости всех функций системы $x'(t)=A \cdot x(t)$ в виде линейных комбинаций производных $x_k(t)$ и доказана его корректность. Также аргументировано, что при выполнении критерия выразимости периодичность и ограниченность вектора-решения $x(t)$ системы $x'(t)=A \cdot x(t)$ следуют лишь из периодичности и ограниченности одной координаты $x_k(t)$ соответственно. Выводы. При выполнении ослабленного критерия выразимости предложенный подход может быть использован для выявления периодического и ограниченного решения системы $x'(t)=A \cdot x(t)$, поскольку позволяет идентифицировать периодическое и ограниченное решение системы $x'(t)=A \cdot x(t)$ на основе периодичности и ограниченности только одной координаты соответственно.