Difference methods for solving some classes of multidimensional loaded parabolic equations with boundary conditions of the first kind

Актуальность и цели. Нагруженными дифференциальными уравнениями в литературе принято называть уравнения, содержащие функции от решения на многообразиях меньшей размерности, чем размерность области определения искомой функции. Главной целью работы является исследование разностной схемы второго порядка точности по параметрам сетки для решения первой краевой задачи для нагруженных параболических уравнений в многомерной области с переменными коэффициентами. Рассмотрены два разных вида уравнений. Задачи такого типа возникают при изучении движения подземных вод, в задачах управления качеством водных ресурсов, когда в водоем поступает из n источников загрязняющее вещество определенной интенсивности, при построении математической модели переноса дисперсных загрязнений в пограничном слое атмосферы при описании функции распределения по массам капель и ледяных частиц с учетом микрофизических процессов конденсации, коагуляции (объединение мелких капель в большие по размеру агрегаты), дробления и замерзания капель в конвективных облаках, а также при изучении процессов и явлений природы, учитывающих эффект памяти. Материалы и методы. Используется метод конечных разностей, метод энергетических неравенств для получения априорных оценок решения разностных схем. Результаты. Для каждой задачи построена разностная схема с порядком аппроксимации $O(|h|^2+\tau^{m_\sigma})$, где $m_\sigma=1$, если $\sigma \neq 0,5$ и $m_\sigma=2$, если $\sigma=0,5$; методом энергетических неравенств для решения разностной задачи получена априорная оценка. Из полученных оценок следуют единственность и устойчивость решения по правой части и начальным данным, а также сходимость решения разностной задачи к решению соответствующей исходной дифференциальной задачи со скоростью $O(|h|^2+\tau^{m_\sigma})$ при $\sigma=0,5$. Выводы. Разработаны новые численные схемы второго порядка аппроксимации для решения поставленных задач.