Аннотация:
Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним
неизвестным представляет собой одну из важнейших проблем теории чисел. Известно, что в общей постановке задача описания множества решений диофантовых уравнений в целых числах алгоритмически неразрешима. Несмотря на усилия многих поколений математиков, в этой области
до сих пор отсутствуют общие эффективные методы их решения. В настоящей работе рассмотрены некоторые классы диофантовых уравнений, решение в целых числах которых представляет интерес как само по себе, так и, например, в процессе исследования сложных дискретных
систем, при поиске оптимальных структур в органической химии и молекулярной физике, при
расшифровке компьютерных алгоритмов, криптографии, в экономике и теории вероятностей.
Используя известные в алгебре тождества и их модификации, а также метод математической
индукции и метод Лагранжа, в работе показан эффективный метод решения как классических
диофантовых уравнений, так и некоторых их обобщенных вариантов. В результате получены
формулы, выражающие целые решения диофантовых уравнений. Этот метод можно применять
также и для других классов диофантовых уравнений.