On a discrete model of optimal advertising

В большинстве работ по оптимальному планированию рекламного бюджета рассматриваются непрерывные модели. Статьи по моделям с дискретным временем встречаются более редко, т.к. в этом случае трудно получить явное решение. В данной статье предложена новая дискретная модель оптимального планирования рекламного бюджета для продавца-монополиста нового товара. В модели динамика продаж задается нелинейным разностным уравнением. Нелинейность зависит от параметра $\sigma$, $0<\sigma<1$, т.е., фактически, рассматривается непрерывное семейство моделей. Дискретные версии модели Видаля–Волфа и модели Сетти являются частными случаями этой модели. Цель продавца максимизировать прибыль к конечному горизонту планирования $T$ с помощью оптимального планирования рекламных расходов. Данная задача является дискретной многошаговой задачей оптимального управления, где управление — это расходы на рекламу. Для нашей модели задача оптимального управления может быть решена явно. Для ее исследования используется метод динамического программирования Беллмана. Получены явные рекуррентные соотношения для оптимального управления и доли рынка к моменту времени $t$, $t=1,\dots,T$, в предположении, что разностное уравнение в модели имеет решение. Найдены достаточные условия на параметры модели, гарантирующие существование решения. Предложенный алгоритм реализован в виде процедуры OptimalAdvertising в пакете Maple. Проведены численные эксперименты с данной процедурой.