Calculation of the eigenvalues of the problems generated by the arbitrary even order Sturm – Liouville operators

Проблема вычисления собственных значений дискретных полуограниченных дифференциальных операторов является одной из важных задач численного анализа. Несмотря на простату постановки, для решения многих задач, которые встречаются на практике, нельзя предложить единого алгоритма вычисления собственных значений. Известные методы вычисления собственных значений линейных дифференциальных операторов основываются на сведении задач к дискретным моделям, при помощи в основном методов сеток или проекционных методов, сводящие задачи к нахождению спектральных характеристик систем линейных алгебраических уравнений. Ввиду плохой разделенности собственных значений матриц, полученных из соответствующих систем уравнений, применение традиционных методов решения требует весьма значительного объема вычислений. Это часто приводит к необходимости решать некорректно поставленные задачи. Как правило выбор алгоритмов приближенного нахождения собственных значений матриц обусловлен в основном их видом. Это сильно сужает возможности использования вычислительных методов для нахождения их собственных значений матриц. При это необходимо отметить, что задача нахождения всех точек спектра для матриц высокого порядка еще не имеет удовлетворительного численного решения.
Используя численные метод регуляризованных следов и метод Галеркина, ранее были получены линейные формулы для вычисления приближенных собственных значений дискретных полуограниченных операторов. Они позволяют находить приближенные собственные значения с любым порядковым номером. При этом не возникают вычислительных трудностей, которые имеют место в других методах. Сравнение результатов вычислительных экспериментов показали, что собственные значения, найденные по линейным формулам, методом Галеркина, а также известные собственные значения спектральных задач, хорошо согласуются.
В статье исследована возможность использования линейных формул, полученных в статьях авторов для нахождения собственных значений операторов Штурма – Лиувилля произвольного четного порядка. На рассмотренных примерах показано, что собственные значения, найденные по линейным формулам и известным асимптотическим формулам, вычислительно совпадают.