Параметрическая неустойчивость колебаний вихревого кольца в $z$-периодическом бозе-конденсате и возврат к исходному состоянию

Рассмотрена в приближении локальной индукции динамика деформаций квантового вихревого кольца в бозе-конденсате с периодической равновесной плотностью $\rho(z)= 1-\epsilon\cos z$. Выявлены параметрические неустойчивости нормальных мод с азимутальными числами $\pm m$ при значениях интеграла энергии $E$ вблизи величин $E_m^{(p)}=2m\sqrt{m^2-1}/p$, где $p$ – порядок резонанса. Численные эксперименты показали, что уже при $\epsilon\sim 0.03$ возможен резкий рост амплитуды неустойчивых мод с $m=2$, $p=1$ до значений порядка единицы, за которым после нескольких больших колебаний следует быстрый возврат к слабо возмущенному состоянию. Подобное поведение соответствует интегрируемому гамильтониану вида $H\propto\sigma(E_2^{(1)}-E)(|b_+|^2+|b_-|^2)- \epsilon(b_+ b_- + b_+^*b_-^*)+u(|b_+|^4+|b_-|^4)+w |b_+|^2|b_-|^2$ для двух комплексных огибающих $b_\pm(t)$. Проведено сравнение с параметрическими неустойчивостями вихревого кольца в конденсате с плотностью $\rho(z,r)=1-r^2-\alpha z^2$, которые имеют место при $\alpha\approx 8/5$ и при $\alpha\approx 16/7$.