Уточнения изопериметрического неравенства геометрии Минковского
В. И. Дискант Черкасский государственный технологический университет, бульв. Шевченко, 460, Черкассы, 18006, Украина
Аннотация:
Доказаны следующие уточнения изопериметрического неравенства
$n$-мерного пространства Минковского
$M^n$ (
$n\geq 2$) с нормирующим телом
$B$ [3]:
\begin{gather*}
S^{\frac{n}{n-1}}_B(A) - (n^nV_B(I))^{\frac{1}{n-1}} V_B(A) \geq (S^{\frac{1}{n-1}}_B(A)-\rho(nV_B(I))^{\frac{1}{n-1}})^n -(n^nV_B(I))^{\frac{1}{n-1}}V_B(A_{-\rho }(I)),
\\
S^{\frac{n}{n-1}}_B(A) - (n^nV_B(I_A))^{\frac{1}{n-1}} V_B(A) \geq (S^{\frac{1}{n-1}}_B(A)-\rho(nV_B(I_A))^{\frac{1}{n-1}})^n -(n^nV_B(I_A))^{\frac{1}{n-1}}V_B(A_{-\rho }(I))
\end{gather*}
и ряд их следствий, среди которых уточнение (11) изопериметрического неравенства в
$M^n$, учитывающее как особенности на границе тела
$A$, так и отклонение тел
$A$ и
$I_A$ от гомотетичности, уточнение (13) неравенства Хадвигера из [5] в
$M^n$ с учетом невырожденности
$A_{-q}(I)$, обобщение (15) неравенства Вилльса из [7] на
$M^n$. В приведенных неравенствах
$A$ — выпуклое тело,
$I$ — изопериметрикс,
$I_A$ — форм-тело тела
$A$ относительно
$I$,
$q$ — коэффициент вместимости
$I$ в
$A$,
$\rho\in [0,q]$,
$A_{-\rho}(I)$ — внутреннее тело, параллельное телу
$A$ относительно
$I$ на расстоянии
$\rho$,
$V_B(A)$ — объем тела
$A$,
$S_B(A)$ — площадь поверхности тела
$A$ в
$M^n$ [3].
MSC: 52A38,
52A40 Поступила в редакцию: 17.05.2002