Homogenization of semilinear parabolic equations with asymptotically degenerating coefficients

Рассматривается начально–краевая задача для нелинейного параболического уравнения вида
$$ \frac{\partial u^\varepsilon}{\partial t}-\sum_{i,j=1}^n \frac{\partial}{\partial x_i}\left(a^\varepsilon_{ij}(x)\frac{\partial u^\varepsilon}{\partial x_j}\right)+f(u^\varepsilon)=h^\varepsilon (x), \qquad x\in \Omega, \quad t\in(0,T), $$
коэффициенты $a^\varepsilon_{ij}(x)$ которого зависят от малого параметра $\varepsilon$, так что $a^\varepsilon_{ij}(x)$ имеют порядок $\varepsilon^{3+\gamma}$ $(0\le\gamma<1)$ на множестве сферических колец $G^\alpha_\varepsilon$ толщины $d_\varepsilon=d\varepsilon^{2+\gamma}$. Кольца периодически, с периодом $\varepsilon$, распределены в области $\Omega$. На множестве $\Omega\setminus U_\alpha G^\alpha_\varepsilon$ эти коэффициенты равны постоянной величине. Изучается асимптотическое поведение решений $u^\varepsilon(x, t)$ этой задачи при $\varepsilon\to 0$. Показано, что асимптотическое поведение решений описывается системой нелинейных уравнений, которая состоит из параболического уравнения в частных производных и связанного с ним обыкновенного дифференциального уравнения.