Эта публикация цитируется в
9 статьях
Step-initial function to the mKdV equation: hyper-elliptic long-time asymptotics of the solution
[Кусочно-постоянные начальные условия для mKdV уравнения: гиперэллиптическая асимптотика решения при больших временах]
V. Kotlyarov,
A. Minakov Mathematical division, B.I. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering,
47 Lenin Avenue, 61103 Kharkiv, Ukraine
Аннотация:
Рассматривается модифицированное уравнение КдФ на всей прямой с начальным условием типа ступеньки, которая равна константе
$c_l$ при
$x<0$ и другой константе
$c_r$ при
$x\geq0$. При этом выполняется условие
$c_l>c_r>0$, что обеспечивает режим «гидродинамической волны сжатия» при
$t\to\infty$. Цель статьи — изучение асимптотического поведения решения начально-краевой задачи, когда
$t\to\infty$. Используя метод наискорейшего спуска, мы деформируем исходную матричную задачу Римана–Гильберта к точно решаемым модельным формам и показываем, что решение начально-краевой задачи имеет разное асимптотическое поведение в различных областях
$xt$-плоскости.
В областях
$x<-6c_l^2t+12c_r^2t$ и
$x>4c_l^2t+2c_r^2t$ главные члены асимптотики решения равны
$c_l$ и
$c_r$ соответственно. В области
$(-6c_l^2+12c_r^2)t<x<(4c_l^2+2c_r^2)t$ асимптотика решения принимает вид модулированной гиперэллиптической волны, генерируемой алгебраической кривой рода 2.
Ключевые слова и фразы:
модифицированное уравнение Кортевега–де Фриза, ступенчатые начальные данные, задача Римана–Гильберта, метод наискорейшего спуска, модулированная гиперэллиптическая волна.
MSC: 35Q15,
35B40 Поступила в редакцию: 07.11.2011
Язык публикации: английский