Tutorial on rational rotation $C^*$-algebras

Алгебра вращений $\mathcal A_{\theta}$ — это универсальная $C^*$-алгебра, порожденная унитарными операторами $U, V$, удовлетворяющими коммутационному соотношению $UV = \omega V U$, где $\omega= e^{ 2\pi i \theta}.$ Они рациональны, если $\theta = p/q$ с $1 \leqslant p \leqslant q-1,$ в противном случае иррациональны. Операторы в этих алгебрах связаны с квантовым эффектом Холла [2, 26, 30], квантовыми системами [22, 34] и эффектным решением проблемы Тена Мартини [1]. Брабантер [4] и Инь [38] классифицировали $C^*$-алгебры рационального вращения с точностью до $*$-изоморфизма. Стейси [31] построила свои группы автоморфизмов. Они использовали известные специалистам методы: коциклы, скрещенные произведения, классы Диксмье-Дуади, эргодические действия, $\mathrm{K}$-теорию и эквивалентность Мориты. Эта пояснительная статья определяет $\mathcal A_{p/q}$ как $C^*$-алгебру, порожденную двумя операторами в гильбертовом пространстве, и использует линейную алгебру, ряды Фурье и конструкцию Гельфанда–Наймарка–Сигала [16] для доказательства его универсальности. Затем он представляет его как алгебру сечений расслоения матричной алгебры над тором для вычисления его класса изоморфизма. Раздел примечаний связывает эти концепции с общей теорией операторной алгебры. Мы пишем для математиков, не являющихся экспертами в $C^*$-алгебре.