Thermocapillary convection of immiscible liquid in a three-dimensional layer at low Marangoni numbers

Изучается совместная конвекция двух вязких теплопроводных жидкостей в трёхмерном слое, ограниченном твердыми плоскими стенками. Верхняя стенка теплоизолирована, а на нижней стенке задано нестационарное поле температур. Жидкости предполагаются несмешивающимися, и на плоской границе раздела между ними заданы сложные условия сопряжения. Эволюция этой системы описывается уравнениями Обербека-Буссинеска в каждой жидкости. Решение указанной задачи ищется в классе полей скоростей, линейных по двум координатам, а поля температур — квадратичные функции тех же координат. В этом случае задача редуцируется к системе 10-ти нелинейных интегродифференциальных уравнений. Она является сопряженной и обратной относительно 4-х функций времени. Для их нахождения ставятся интегральные условия переопределения, имеющие ясный физический смысл — замкнутость потока. Поставленная обратная начально-краевая задача описывает конвекцию в двухслойной системе, возникающую вблизи точки экстремума температуры на нижней твердой стенке. При малых числах Марангони задача аппроксимируется линейной (число Марангони играет роль числа Рейнольдса для уравнений Навье-Стокса). Найдено стационарное решение этой задачи. Линейная нестационарная задача решена методом преобразования Лапласа, причем температура может иметь разрывы 1-го рода — изменяться скачком. В образах по Лапласу решение получено в квадратурах. Доказано, что с ростом времени оно выходит на стационарный режим, если температура на нижней стенке стабилизируется со временем. С помощью численного обращения преобразования Лапласа изучена эволюция поведения поля скоростей в системе трансформаторное масло – вода.