Problems of bounding the $p$-length and Fitting height of finite soluble groups

Данная статья является обзором некоторых открытых проблем и недавних результатов об ограничении высоты Фиттинга и $p$-длины конечных разрешимых групп. Во многих задачах теории конечных групп в настоящее время классификация в большой степени облегчает сведение к разрешимым группам. Ограничение их высоты Фиттинга или $p$-длины можно рассматривать как дальнейшее сведение к нильпотентным группам. Это обычно достигается методами теории представлений, такими как теорема Клиффорда или теоремы типа Холла–Хигмэна. В некоторых задачах открытые вопросы остаются именно в случае нильпотентных групп, несмотря на значительные успехи, достигнутые, в частности, с помощью методов колец Ли. Но имеются также важные вопросы, которые всё ещё требуют сведения к нильпотентным группам; настоящий обзор нацелен на задачи сведения этого типа. В качестве примеров обсуждаются конечные группы с автоморфизмами без неподвижных точек и почти без неподвижных точек, а также обобщения ослабленной проблемы Бернсайда. Также обсуждаются результаты о тождествах смежных классов, которые применяются в изучении проконечных групп. Наконец, упоминается открытая проблема ограничения высоты Фиттинга в изучении аналога ослабленной проблемы Бернсайда для луп Муфанг.