On a second order linear parabolic equation with variable coefficients in a non-regular domain of $\mathbb{R}^{3}$

Настоящая работа посвящена изучению следующего параболического уравнения с переменными коэффициентами в недивергентной форме:
\begin{equation*} \partial _{t}u-\sum_{i=1}^{2}a_{i}(t,x_{1},x_{2})\partial_{ii}u+\sum_{i=1}^{2}b_{i}(t,x_{1},x_{2})\partial _{i}u+c(t,x_{1},x_{2})u=f(t,x_{1},x_{2}), \end{equation*}
с учетом граничных условий Коши–Дирихле. Задача задана в нерегулярной области вида
\begin{equation*} Q=\left\{ \left( t,x_{1}\right) \in\mathbb{R}^{2}:0<t<T, \varphi _{1}\left( t\right) <x_{1}<\varphi _{2}\left( t\right)\right\} \times \left] 0,b\right[, \end{equation*}
где $ \varphi_{k}, \ k = 1,2 $ являются гладкими функциями. Одной из основных задач этой работы служит то, что область может быть нерегулярной, например, допускается особый случай, когда $ \varphi_{1} $ совпадает с $ \varphi_{2} $ при $ t = 0 $. Анализ проводится в рамках анизотропных пространств Соболева с использованием метода декомпозиции областей. Эта работа является обобщением случая постоянных коэффициентов, изучаемого в [15].