Optimal formulas of numerical integration with derivatives in Sobolev space

В настоящей статье рассмотрена проблема построения оптимальных квадратурных формул в смысле Сарда в пространстве $L_2^{(m)}(0,1)$. Здесь квадратурная сумма состоит из значений подынтегральной функции в узловых точках и значений первой, третьей и пятой производных подынтегральной функции в концевых точках интервала инегрирования. Найдены коэффициенты оптимальных квадратурных формул и вычислена норма оптимального функционала погрешности для любого натурального $N$ и для любого $m\geq 6$ с использованием метода Соболева, основанном на дискретном аналоге дифференциального оператора $d^{2m}/dx^{2m}$. В частности, для $m=6, 7$ оптимальность классической квадратурной формулы Эйлера–Маклорена доказана. Начиная с $m=8$ получены новые оптимальные квадратурные формулы.