Global in time results for a parabolic equation solution in non-rectangular domains

В этой статье рассматривается параболическое уравнение
$$ \partial _{t}w-c(t)\partial_{x}^{2} w=f \text{in} D, D=\left\{(t,x)\in\mathbb{R}^{2}:t>0, \varphi_{1} \left( t\right)<x<\varphi_{2}(t)\right\}, $$
где $\varphi_{i}: [0,+\infty[\rightarrow \mathbb{R}, i=1, 2$ и $c: [0,+\infty[\rightarrow \mathbb{R}$, удовлетворяя некоторым условиям, задача дополняется граничными условиями типа Дирихле-Робина. Мы изучаем проблему глобальной регулярности в подходящем параболическом пространстве Соболева. В частности, докажем, что для $f\in L^{2}(D)$ существует единственное решение $w$ такое, что $w, \partial _{t}w, \partial ^{j}w\in L^{2}(D), j=1, 2.$ Обратите внимание, что случай ограниченных непрямоугольных областей изучается в [9]. Доказательство основано на оценках энергии после преобразования задачи в полосовой области в сочетании с некоторым интерполяционным неравенством. Эта работа дополняет результаты, полученные в [19] в случае граничных условий Коши-Дирихле.