О двух интегральных уравнениях с ядром типа Карлемана. I

Пусть $R$ – фундаментальная область фуксовой группы рода $\rho>1$, $\{S_r(z)\}$ – преобразования группы, которые отображают $R$ в многоугольники, имеющие с $R$ общую сторону или общую вершину, $\alpha(t)$ – функция, совпадающая на сторонах $\partial R$ с порождающими группу преобразованиями, такая, что $\alpha[\alpha(t)]=t$. Среди вершин $R$ нет предельных точек. Рассматривается интегральное уравнение с ядром типа Карлемана
\begin{gather*} k(t,\tau)=A(t,\tau)-[\alpha'(\tau)]^2[\alpha^1(t)]^{-1}A[\alpha(t),\alpha(\tau)], \\ A(t,\tau)=(\tau-t)^{-1}+\sum_r[S'_r(\tau)]^2[S_r(\tau)-t]^{-1}, \quad t,\tau\in\partial R. \end{gather*}

Доказывается фредгольмовость уравнения, устанавливается, что однородное уравнение имеет не менее $3\rho-3+N$ линейно-независимых решений. Изучается второе интегральное уравнение, в ядре которого содержится также конечное, но большее число преобразований, чем в первом. Доказывается, что это число можно выбрать так, чтобы однородное уравнение имело ровно $3\rho-3+N$ линейно-независимых решений, $N\geqslant0$.
Библ. 8.