Линейные связности голономного и неголономного гладких многообразий

Термины «неголономная поверхность», «неголономное многообразие» и «неголономное пространство» используются в разных смыслах при построении конструкций, обобщающих в том или ином направлении поверхность в однородном пространстве или само это пространство. Понятие неголономного гладкого многообразия обобщает, с одной стороны, обычное дифференцируемое многообразие, которое в связи с этим естественно называть голономным, с другой стороны, — неголономное пространство Картана [1], т.е. пространство с групповой связностью, в частности, пространство аффинной связности. Неголономное гладкое многообразие, фактически, исследовал А. К. Рыбников [2]. Это многообразие обнаруживается на пути, предложенном М. А. Акивисом [3] и представляющем локальный подход к гладкому многообразию. Тем не менее полученные результаты имеют глобальный характер, что разными способами показали Лаптев [4] и Ю. Г. Лумисте [5].
Изучена линейная (в классической терминологии — аффинная) связность на голономиом и неголономном гладких многообразиях, которая рассматривается как групповая связность в главном расслоении линейных реперов и задается способом Лаптева [6]. Доказано, что на неголономном многообразии объект кручения линейной связности является квазитензором, а объект кривизны образует квазитензор лишь в совокупности с объектом связности. На голономном многообразии объекты кручения и кривизны — тензоры. В неголономном случае линейная связность обладает кручением и кривизной, а в голономном случае, как известно, можно рассматривать связность без кручения или без кривизны. Геометрическая трактовка А. К. Рыбникова [7] понятия связности здесь такова [2, 8]: задание линейной связности (симметрической в голономном случае) на гладком многообразии эквивалентно оснащению многообразия полем подпространств, образующих соприкасающиеся пространства 2-го порядка в прямой сумме с касательными пространствами. Дана локальная геометрическая характеристика такой линейной связности, которая интерпретируется внутри соприкасающегося пространства с помощью проекции смежного касательного пространства на исходное касательное пространство параллельно оснащающему подпространству.
В статье излагаются результаты, доложенные на Международном геометрическом семинаре им. Лобачевского [9].