Об одной оптимальной кубатурной формуле для классов функций, задаваемых модулями непрерывности

Рассматривается задача минимизации погрешности кубатурной формулы на классах функций, задаваемых модулями непрерывности. Для кубатурных формул с фиксированными узлами на границе прямоугольной области и решётчатым расположением узлов даётся точное решение задачи на широких классах функций двух переменных.
Ранее Н.П. Корнейчуком было доказано, что если граничные узлы прямоугольной решётки $Q_{ki}=\{\, x_{k-1}\le x\le x_{k},\, y_{i-1}\le y\le y_{i}\}$ не включать в число узлов кубатурной формулы
$$ \iint\limits_{(Q)}f(x,y)dxdy=\sum_{k=1}^m\sum_{i=1}^n p_{ki}f(x_k,y_i)+R_{mn}(f),\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(1) $$
то среди всех кубатурных формул вида (1) наилучшей для классов функций $H^{\omega_{1},\omega_{2}}(Q),\, H_{\rho_{1}}^{\omega}(Q)$  и  $H_{\rho_{2}}^{\omega}(Q)$ является формула средних прямоугольников.
В работе доказано, что если в число узлов формулы (1) добавить все граничные узлы (такие формулы называются формулами типа Маркова), то для указанных классов функций наилучшей является формула трапеций. Вычислены точные оценки погрешности для всех классов функций.