Эта публикация цитируется в
14 статьях
Об аппроксимируемости корневыми классами HNN-расширений групп
Е. А. Туманова Ивановский государственный университет, 153025 Россия, г. Иваново, ул. Ермака, 39
Аннотация:
Пусть
$\mathcal{K}$ — произвольный корневой класс групп (это означает, что
$\mathcal{K}$ содержит хотя бы одну неединичную группу, замкнут относительно взятия подгрупп и прямых произведений конечного числа сомножителей и удовлетворяет условию Грюнберга: если
$1 \leqslant Z \leqslant Y \leqslant X$ — субнормальный ряд группы
$X$ такой, что фактор-группы
$X/Y$ и
$Y/Z$ принадлежат классу
$\mathcal{K}$, то в группе
$X$ существует нормальная подгруппа
$T$ такая, что
$T \subseteq Z$ и фактор-группа
$X/T$ принадлежит классу
$\mathcal{K}$). В данной статье исследуются условия аппроксимируемости классом
$\mathcal{K}$ (
$\mathcal{K}$-аппроксимируемости) частного случая общей конструкции HNN-расширения, когда связанные подгруппы совпадают. Пусть
$G = (B,\ t;\ t^{-1}Ht = H,\ \varphi)$. В случае, когда
$B \in \mathcal{K}$ и подгруппа
$H$ нормальна в группе
$B$, автором получено достаточное условие
$\mathcal{K}$-аппроксимируемости группы
$G$, которое становится и необходимым, если класс
$\mathcal{K}$ замкнут относительно факторизации (т. е. взятия гомоморфных образов). Также установлены критерии
$\mathcal{K}$-аппроксимируемости группы
$G$ при условии, что класс
$\mathcal{K}$ замкнут относительно факторизации, группа
$B$ $\mathcal{K}$-аппроксимируема, а подгруппа
$H$ нормальна в группе
$B$ и удовлетворяет хотя бы одному из следующих ограничений: группа
$\operatorname{Aut}_G(H)$ всех автоморфизмов подгруппы
$H$, представляющих собой ограничения на эту подгруппу всевозможных внутренних автоморфизмов группы
$G$, является абелевой; группа
$\operatorname{Aut}_G(H)$ конечна; автоморфизм
$\varphi$ совпадает с ограничением на подгруппу
$H$ некоторого внутреннего автоморфизма группы
$B$; подгруппа
$H$ конечна; подгруппа
$H$ является бесконечной циклической; подгруппа
$H$ имеет конечный ранг Гирша–Зайцева (т. е. обладает конечным субнормальным рядом, каждый фактор которого является либо периодической, либо бесконечной циклической группой). Кроме того, найдено достаточное условие
$\mathcal{K}$-аппроксимируемости группы
$G$ в случае, когда группа
$B$ $\mathcal{K}$-аппроксимируема, а подгруппа
$H$ является ее ретрактом (в этом утверждении класс
$\mathcal{K}$ не обязан быть замкнутым относительно факторизации).
Ключевые слова:
HNN-расширение, корневой класс групп, аппроксимируемость корневыми классами групп.
УДК:
512.543 Поступила в редакцию: 25.06.2014