Solution to a parabolic differential equation in Hilbert space via Feynman formula - I

В работе рассматривается параболическое дифференциальное уравнение $u'_t(t,x)=Lu(t,x)$ в частных производных, где $L$ — это линейный дифференциальный оператор второго порядка с коэффициентами, не зависящими от времени, но зависящими от $x$. Предполагается, что пространственная переменная $x$ принадлежит конечномерному или бесконечномерному вещественному сепарабельному гильбертову пространству $H$.
Из существования сильно непрерывной полугруппы, разрешающей рассматриваемое уравнение, в статье выводится представление этой полугруппы в виде формулы Фейнмана, т.е. полугруппа записывается в форме предела кратного интеграла по $H$ при стремящейся к бесконечности кратности. Это представление дает единственное решение задачи Коши для рассматриваемого уравнения в классе функций, являющихся равномерными пределами гладких цилиндрических функций на $H$. Более того, это решение непрерывно зависит от начального условия. Для случая, когда в операторе $L$ коэффициент при первой производной равен нулю, в настоящей работе доказано, что а) сильно непрерывная разрешающая полугруппа существует (это влечет за собой существование единственного решения для задачи Коши в упомянутом выше классе функций) и б) это решение непрерывно зависит от коэффициентов уравнения.
Статья публикуется в авторской редакции.