О финитной отделимости подгрупп в расщепляемых расширениях
А. А. Кряжева Ивановский государственный университет, ул. Ермака, 39, г. Иваново, 153025 Россия
Аннотация:
В 1973 году Аленби и Грегорас доказали следующее утверждение. Пусть
$G$ — расщепляемое расширение конечно порожденной группы
$A$ с помощью группы
$B$. 1) Если в группах
$A$ и
$B$ все подгруппы (все циклические подгруппы) финитно отделимы, то и в группе
$G$ все подгруппы (все циклические подгруппы) финитно отделимы; 2) если в группе
$A$ все подгруппы финитно отделимы, а в группе
$B$ все конечно порожденные подгруппы финитно отделимы, то в группе
$G$ все конечно порожденные подгруппы финитно отделимы. Напомним, что группа
$G$ называется расщепляемым расширением группы
$A$ с помощью группы
$B$, если группа
$A$ является нормальной подгруппой группы
$G$,
$B$ — подгруппа группы
$G$,
$G=AB$ и
$A\cap B=1$. Напомним также, что подгруппа
$H$ группы
$G$ называется финитно отделимой, если для каждого элемента
$g$ группы
$G$, не принадлежащего подгруппе
$H$, существует гомоморфизм группы
$G$ на некоторую конечную группу, при котором образ элемента
$g$ не принадлежит образу подгруппы
$H$. В данной работе получено обобщение теоремы Аленби и Грегораса за счет замены условия конечной порожденности группы
$A$ более общим: для любого натурального числа
$n$ число всех подгрупп группы
$A$ индекса
$n$ конечно. В действительности при этом условии удалось получить необходимое и достаточное условие финитной отделимости всех подгрупп (всех циклических подгрупп, всех конечно порожденных подгрупп) в группе
$G$.
Ключевые слова:
расщепляемое расширение, финитная отделимость подгруппы, конечно порожденная группа.
УДК:
512.543 Поступила в редакцию: 21.04.2015
DOI:
10.18255/1818-1015-2015-4-500-506