Asymptotic formula for the moments of Bernoulli convolutions

Для каждого $\lambda$, $0<\lambda<1$ определим случайную величину (симметричную свертку Бернулли)
$$ Y_\lambda = (1-\lambda)\sum_{n=0}^\infty \xi_n\lambda^n, $$
где $\xi_n$ – независимые случайные величины с
$$ \mathrm{P}\{\xi_n =0\} =\mathrm{P}\{\xi_n =1\} =\frac12. $$
Основной результат настоящей работы
$$ M_n = \mathrm{E} Y_\lambda^n = n^{\log_{\lambda}2} 2^{\log_\lambda(1-\lambda)+0.5\log_\lambda2-0.5} e^{\tau(-\log_{\lambda}n)}\left(1 + \mathcal{O}(n^{-0.99})\right), $$
где функция
$$ \tau(x)= \sum_{k\ne0}\frac1k\alpha\left(-\frac{k}{\ln\lambda}\right)e^{2\pi ikx} $$
является периодической с периодом равным 1,
$$ \alpha(t) = -\frac{1}{2i\mathrm{sh}\,(\pi^2t)} (1-\lambda)^{2\pi i t}(1 - 2^{2\pi i t})\pi^{-2\pi i t }2^{-2\pi i t }\zeta(2\pi i t), $$
а $\zeta(z)$ – дзета-функция Римана.
Статья публикуется в авторской редакции.