Асимптотическое интегрирование одного линейного дифференциального уравнения второго порядка с запаздыванием

В работе строятся асимптотические формулы для решений одного линейного дифференциального уравнения второго порядка с запаздыванием при стремлении независимой переменной к бесконечности. Следует отметить две особенности, касающиеся рассматриваемого уравнения. Во-первых, коэффициент этого уравнения имеет колебательно убывающий вид. Во-вторых, при нулевом запаздывании это уравнение переходит в так называемое одномерное уравнение Шредингера с нулевой энергией и потенциалом типа Вигнера–фон Неймана. Динамика решений последнего хорошо известна. В этой связи интерес представляет вопрос о том, как изменяется характер поведения решений этого уравнения в качественном и количественном отношении при введении в эту динамическую модель запаздывания. Рассматриваемое уравнение интересно также и с позиции теории колебаний решений функционально-дифференциальных уравнений. Используемая в работе методика асимптотического интегрирования опирается на идеологию теории центральных многообразий в ее изложении применительно к системам функционально-дифференциальных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами. Суть метода сводится к построению так называемого критического многообразия в фазовом пространстве динамической системы. Это многообразие является притягивающим и положительно инвариантным, а значит, динамика всех решений исходного уравнения определяется динамикой решений на критическом многообразии. Система, описывающая динамику решений на критическом многообразии, представляет собой линейную систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений. При построении асимптотики решений этой системы используются усредняющие замены переменных и замены, позволяющие диагонализировать переменные матрицы. В результате подобных преобразований система на критическом многообразии приводится к так называемому $L$-диагональному виду. Асимптотика фундаментальной матрицы $L$-диагональной системы может быть построена с помощью классической теоремы Н. Левинсона.