Эта публикация цитируется в
1 статье
Асимптотические законы распределений собственных значений периодической и антипериодической краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка
С. А. Кащенкоab a Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150003 Россия
b Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», Каширское ш., 31, г. Москва, 115409 Россия
Аннотация:
Рассматривается асимптотическое распределение собственных значений периодической и антипериодической краевых задач для линейного уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами. Это дает возможность получить асимптотики зон устойчивости и неустойчивости решений. Показано, что в отсутствие точек поворота (
$r(t)>0$) длины зон неустойчивости стремятся к нулю с ростом их номера, а длины зон устойчивости — к некоторой положительной величине. Ситуация, когда
$r(t)\ge 0$ и имеются нули
$r(t)$, приводит к тому, что длины зон устойчивости и зон неустойчивости имеют конечный ненулевой предел при неограниченном увеличении номера соответствующей зоны. Если же функция
$r(t)$ знакопеременна, то длины всех зон устойчивости стремятся к нулю, а длины зон неустойчивости — к некоторым конечным величинам. Эти выводы позволили сформулировать ряд интересных критериев устойчивости и неустойчивости решений линейного уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами.
Приведенные результаты иллюстрируются содержательным примером. Методика исследования основана на детальном изучении так называемых специальных эталонных уравнений и последующем сведении исходных уравнений к тому или иному виду эталонных уравнений. При этом используются асимптотические методы теории сингулярных возмущений, а также известные свойства ряда специальных функций.
Ключевые слова:
сингулярно возмущенное уравнение, точки поворота, асимптотика, краевая задача, собственные числа.
УДК:
517.9
Поступила в редакцию: 14.10.2016
DOI:
10.18255/1818-1015-2017-1-13-30