Новые оценки числовых величин, связанных с симплексом

Пусть $n\in {\mathbb N}$, $Q_n=[0,1]^n$. Для невырожденного симплекса $S\subset {\mathbb R}^n$ через $\sigma S$ обозначается результат гомотетии $S$ относительно центра тяжести с коэффициентом гомотетии $\sigma$. Под $\xi(S)$ понимается минимальное $\sigma>0$, такое что $Q_n\subset \sigma S$. Через $\alpha(S)$ обозначается минимальное $\sigma>0$, при котором $Q_n$ принадлежит трансляту симплекса $\sigma S$. Через $d_i(S)$ обозначается $i$-й осевой диаметр $S$, представляющий собой максимальную длину отрезка, принадлежащего $S$ и параллельного $i$-й координатной оси. Формулы для $\xi(S)$, $\alpha(S)$, $d_i(S)$ были ранее доказаны первым автором. Положим $\xi_n=\min\{ \xi(S): S\subset Q_n\}. $ Всегда $\xi_n\geq n.$ Обсуждаются некоторые гипотезы, сформулированные в предыдущих работах. Одной из них является следующее утверждение. Для любого $n$ существует константа $\gamma>0$, не зависящая от $S\subset Q_n$, с которой выполняется неравенство $\xi(S)-\alpha(S)\leq \gamma (\xi(S)-\xi_n).$ Минимальное $\gamma$ c таким свойством обозначается через $\varkappa_n$. Доказывается, что $\varkappa_1=\frac{1}{2}$ и при $n>1$ справедливо $\varkappa_n\geq 1$. Если $n>1$ и $\xi_n=n,$ то $\varkappa_n=1$. Равенство $\xi_n=n$ выполняется, если $n+1$ — число Адамара, т.е. существует матрица Адамара порядка $n+1$. Последнее утверждение известно; приводится ещё одно его доказательство, непосредственно использующее матрицы Адамара. Доказывается, что $\xi_5=5$. Таким образом, существуют такие $n$, для которых $n+1$ не является числом Адамара и, тем не менее, $\xi_n=n$. Минимальное $n$ с таким свойством равно $5$. Это влечёт $\varkappa_5=1$ и опровергает гипотезу о характеризации чисел Адамара в терминах гомотетии симплексов, высказанную ранее первым автором: $n+1$ есть число Адамара тогда и только тогда, когда $\xi_n=n.$ Последнее утверждение оказывается верным лишь в одну сторону. Существует симплекс $S\subset Q_5$, для которого граница симплекса $5S$ содержит все вершины куба $Q_5$. Указывается однопараметрическое семейство симплексов, принадлежащих $Q_5$ и обладающих свойством $\alpha(S)=\xi(S)=5.$ Эти симплексы удаётся найти с помощью комбинации численных и символьных вычислений. Новым результатом является неравенство $\xi_6\ <6.0166$. Систематизируются оценки чисел $\xi_n$, $\theta_n$, $\varkappa_n$, полученные авторами к моменту написания статьи. Здесь $\theta_n$ — минимальная величина нормы интерполяционного проектора на пространство линейных функций $n$ переменных как оператора из $C(Q_n)$ в $C(Q_n)$.