Решения уравнений нестационарного фронта реакции с вырожденными точками равновесия

Мы рассматриваем нестационарный процесс распространения некоторой субстанции в одномерной среде с диффузией и источниками, плотность которых зависит от концентрации (так для определенности будем называть исследуемую величину). Предполагается, что изменение концентрации $u(x,t)$ в данной точке со временем $t$ определяется разностью потоков слева и справа, а также плотностью источников, которая зависит от $x$ и от $u$. Такая модель приводит к начально-краевой задаче для квазилинейного уравнения параболического типа, которое называют уравнением реакции–диффузии. В частности, наша модель пригодна для описания нестационарного процесса передачи информации в одномерной системе объектов, которые могут быть описаны величиной, характеризующей степень информированности о некотором событии. Предполагается, что плотность источников обращается в нуль (меняя знак) при трех значениях концентрации, два из которых (крайние) являются устойчивыми, имеется еще промежуточное неустойчивое состояние с нулевой плотностью источников, в котором тоже имеет место перемена знака. Особенность нашей модели состоит в том, что мы предполагаем, что два крайних корня функции плотности источников являются вырожденными (с целым или дробным показателем, большим единицы). Такая модель соответствует ситуации, при которой плотность источников в окрестности стационарного значения концентрации является бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем для стандартной модели, в которой эта величина имеет первый порядок малости. Мы намерены показать аналитически и методом компьютерного моделирования, что данная модель приводит к тому, что скорость асимптотического стремления концентрации к равновесным значениям для движущегося фронта становится степенной вместо экспоненциальной, имеющей место для стандартных моделей. Построена формальная асимптотика решения начально-краевой задачи в однородной среде со степенной зависимостью плотности источников от концентрации, построены верхнее и нижнее решения, дано строгое обоснование формальной асимптотики. Построены точные решения уравнения реакции–диффузии для широкого класса функций плотности источников.