О локально выпуклых кривых

Вводится понятие и устанавливаются свойства локально выпуклых кривых. В первом пункте рассматривается кривая $K$, допускающая параметрическое представление $x = u(t),\, y = v(t), \, (a \leqslant t \leqslant b),$ где $u(t), v(t)$ — непрерывно дифференцируемые на отрезке $[a,b]$ функции, причём $|u'(t)| + |v'(t)| > 0 \,\forall t \in [a,b]$. Угловая функция $\theta(t)$ кривой $K$ — это непрерывная на отрезке $[a,b]$ функция, удовлетворяющая соотношениям
$$u'(t) = \sqrt{(u'(t))^2 + (v'(t))^2}\, \cos \theta(t), \quad v'(t) = \sqrt{(u'(t))^2 + (v'(t))^2}\, \sin \theta(t).$$
Кривая $K$ называется локально выпуклой, если её угловая функция $\theta(t)$ строго монотонна на отрезке $[a,b]$. Для замкнутой кривой $K$ число $deg K= \cfrac{\theta(b)- \theta(a)}{2 \pi}$ целое; оно равно числу оборотов, которое вектор скорости $(u'(t),v'(t))$ совершает вокруг начала координат. Основной результат пункта: если кривая $K$ локально выпукла и замкнута, то для любой прямой $G$ число $N(K;G)$ точек пересечения $K$ с $G$ конечно и верна оценка $N(K;G) \leqslant 2 |deg K|$.
Обсуждаются варианты этой оценки для незамкнутых и негладких кривых. В пунктах 2, 3 основное внимание уделяется кривым, возникающим при исследовании линейного однородного дифференциального уравнения вида $L(x) \equiv x^{(n)} + p_1(t) x^{(n-1)} + \cdots p_n(t) x = 0 $ с локально суммируемыми коэффициентами $p_i(t)\, (i = 1, \cdots,n)$. Существенную роль начинают играть признаки неосцилляции дифференциального оператора $L$, установленные в работах Г.А. Бессмертных и А.Ю. Левина.